Init Script Required-Start Required-Stop Service Linux

Dica Rápida: 

- No geral os scripts dos serviços linux são encontrados em: /etc/init.d/...
- Caso você necessita que um serviço seja iniciado ou terminado antes de outro serviço basta incluir no script de execução do serviço o seguinte trecho:

Levamos em consideração que temos o serviço denominado primeiroServico no script do serviço /etc/init.d/primeiroServico deve-se adicionar o seguinte trecho no cabeçalho:

#!/bin/sh

### BEGIN INIT INFO
# Provides:        primeiroServico
# Required-Start: $network
# Should-Start: 
# Required-Stop:
# Should-Stop:
# Default-Start:  2 3 5
# Default-Stop:
# Description:    Descrição Serviço
### END INIT INFO

{trecho seu serviço}

Este primeiro trecho basicamente denomina seu serviço como primeiroServiço e diz que primeiro deve ser iniciado o serviço denominado "network" para que posteriormente ele inicie o serviço "primeiroServico". Onde Required-Start deve ser preenchido com o nome do seu "script/serviço" que você deseja que seja iniciado anteriormente.

Levamos em consideração agora que possuímos o serviço denominado segundoServiço (/etc/init.d/segundoServiço) o mesmo deve ser iniciado após o start dos serviços "network" e "primeiroServico" conforme trecho abaixo: 

#!/bin/sh

### BEGIN INIT INFO
# Provides:        segundoServico
# Required-Start: $network $primeiroServico
# Should-Start: 
# Required-Stop:
# Should-Stop:
# Default-Start:  2 3 5
# Default-Stop:
# Description:    Descrição Serviço
### END INIT INFO
{trecho seu serviço}

E para que o serviço seja terminado depois que outro serviço basta adicionar na linhas Required-Stop adicionando os serviços conforme exemplos a cima.

Alguns links para mais detalhes: https://wiki.debian.org/LSBInitScripts